2019年北京高考数学（理科）考试真题
来源:学科网时间:06-11
2019年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。数 学（理）（北京卷）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z=2+i，则
（A）
（B）
（C）3 （D）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s值为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（3）已知直线l的参数方程为
（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（A）
（B）
（C）
（D）
（4）已知椭圆
（a＞b＞0）的离心率为
，则（A）a2=2b2 （B）3a2=4b2 （C）a=2b （D）3a=4b
（5）若x，y满足
，且y≥−1，则3x+y的最大值为（A）−7 （B）1 （C）5 （D）7
（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=
lg
，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.1 （B）10.1 （C）lg10.1 （D）10−10.1
（7）设点A，B，C不共线，则“
与
的夹角为锐角”是“
”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：
就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过
；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是
（A）① （B）② （C）①② （D）①②③
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．
（10）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．
（12）已知l，m是平面
外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m； ②m∥
； ③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
（13）设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=
．（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B–C）的值．
（16）（本小题14分）
如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且
．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且
．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
（17）（本小题13分）
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
 支付金额（元）支付方式 |
（0，1000] | （1000，2000] | 大于2000 |
| 仅使用A | 18人 | 9人 | 3人 |
| 仅使用B | 10人 | 14人 | 1人 |
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
（18）（本小题14分）
已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
（19）（本小题13分）
已知函数
．（Ⅰ）求曲线
的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当
时，求证：
；（Ⅲ）设
，记
在区间
上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．（20）（本小题13分）
已知数列{an}，从中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1<i2<…<im），若
，则称新数列
为{an}的长度为m的递增子列．规定：数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为
，长度为q的递增子列的末项的最小值为
．若p<q，求证：<；（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．
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