天津市第四十二中学 张鼎言

 

由|-|⊥|-|：x1x2+y1y2

 

=-=0

 

3m2=2b2(k2+1) (*)

 

lOD：y=--x

 

-

 

x2+y2=-+-

 

=-=-

 

由(*) 3g-=2b2

 

x2+y2=-gb2

 

若k→∞→|x1|=|y1|

 

由原方程-+-=1

 

x12=-b2，D(x1，0)在轨迹上

 

若k=0

 

-+-=1，y22=-b2，D(0，y2)

 

∴D也在轨迹上

 

注：本题(Ⅱ)是过两点的直线与椭圆相交，设直线方程一般不用二点式，而采用y=kx+m形式。这是涉及两个参数k、m，消参的过程就是把几何条件(这里是|-|⊥|-|)变成等量关系，通过等量关系(这里是3m2=2b2(k2+1))减少参数个数。

 

2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线。

 

(Ⅰ)当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；

 

(Ⅱ)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围。

 

解：(Ⅰ)x2=-y，F(0，-)，准线方程y=--

 

∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线上，l垂直平分AB且过焦点F，

 

∴|FA|=|FB|

 

由抛物线定义：|FA|=y1-(--)=|FB|=y2-(--)

 

∴y1=y2，2x12=2x22，2(x1+x2)(x1-x2)=0，

 

∵A、B是两个不同点，∴x1≠x2

 

∴x1+x2=0是所求结论。

 

(Ⅱ) l：y=2x+b，求b的范围？

 

这里直线l与抛物线没有直接的关系，因此l必须借助直线lAB，l是线段AB垂直平分线，把l与lAB连接起来，由lAB与抛物线关系，再回到直线l上来。

 

lAB：y=--x+m，且过(-，-)

 

-

 

△=-+8m>0，m>--

 

x1+x2=--，-=--，

 

y1+y2=--(x1+x2)+2m，-=-+m

 

又(-，-)在直线上，-+m=--+b，

 

b=m+->--+-=-

 

注：本题难点是由l转化为lAB，反过来再由lAB回到l上来。本例提示了一条有普遍意义的规律，有关系较远的两个“元素”之间的关系，转化为关系较近的“元素”之间的关系，再回到原来“元素”之间的关系。

 

3. 双曲线C与椭圆-+-=1有相同的焦点，直线y=-x为C的一条渐近线。

 

(1)求双曲线C的方程；

 

(2)过点P(0，4)的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合)。当-=λ1-=λ2-，且λ1+λ2=--时，求Q点的坐标。

 

解：(Ⅰ)由-+-=1→c=2， 又-=-

 

∴双曲线C的方程为x2--=1