天津市第四十二中学 张鼎言

 

复习导引：这部分是直线与圆，圆与圆的位置关系，注意运用初中平面几何知识。

 

(一)直线与圆

 

1. 设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*)。下列四个命题：

 

A. 存在一条定直线与所有的圆均相切

 

B. 存在一条定直线与所有的圆均相交

 

C. 存在一条定直线与所有的圆均不相交

 

D. 所有的圆均不经过原点

 

其中真命题的代号是______(写出所有真命题的代号)。

 

分析Ck的圆心 x0=k-1，y0=3k，k∈N*

 

半径 r=-k2

 

y0=3(x0+1)为一条直线，∴Ck的圆心，k∈N*

 

在一条直线上，B正确。

 

考虑两圆的位置关系，圆心距d2=[k-(k-1)]2+[3(k+1)-3k]2=10，d=-

 

rk+1-rk=-(k+1)2--k2=-(2k+1)3->d

 

∴Ck含于Ck+1之中，排除A

 

若k↑，r=-k2↑，圆是一个无限大的区域，排除C

 

把x=0，y=0代入Ck:(k-1)2+9gk2=2k4

 

若k-1为奇数，k为偶数，上式左边是奇数，右边是偶数；若k-1为偶数时，有同样的结论，∴O(0，0)不满足Ck的方程，D正确。其真命题为B、D。

 

2. 已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的外接圆(点C为圆心)

 

(Ⅰ)求圆C的方程；

 

(Ⅱ)设圆M的方程为(x-4-7cosθ)2+(y-7sinθ)2=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求-g-的最小值和最小值。

 

解：(1)∵△OAB等边，OA=OB，

 

又y2=2x的图像关于x轴对称，A与B是关于x轴对称点，∴AB⊥x轴。

 

设A(-，y)，y>0

 

-=tan30°=-，y=2-，|AB|=4-

 

△OAB的重心是△OAB的外心，

 

|OD|=4-g-=6

 

C(4，0)，r=4

 

∴C (x-4)2+y2=16

 

分析(2)M(x-4-7cosθ)2+(y-7sinθ)2=1

 

M的圆心(x0，y0)

 

x0=4+7cosθ，y0=7sinθ

 

(x0-4)2+y02=72

 

M的圆心轨迹是以(4，0)为圆心，以7为半径的圆。

 

示意图，如下图，|CP|=？

 

cosθ=-=-

 

cos2θ=2cos2θ-1=--

 

-g-=--

 

若|CP|=8，cosθ=-，cos2θ=--

 

此时，-g-=-8

 

∴-8-g---