一、集合与简易逻辑

 

复习导引：这部分高考(Q吧)题一般以选择题与填空题出现。多数题并不是以集合内容为载体，只是用了集合的表示方法和简单的交、并、补运算。这部分题其内容的载体涉及到函数、三角函数、不等式、排列组合等知识。复习这一部分特别请读者注意第1题，阐述了如何审题，第3、5题的思考方法。简易逻辑部分应把目光集中到“充要条件”上。

 

1.设集合M={1,2,3,4,5,6},S1、S2、…Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si={ai,bi},Sj={aj,bj},(i≠j,i、j∈{1，2，3，…k})都有min{-,-}≠min{-,-}(min{x,y}表示两个数x、y中的较小者)。则k的最大值是( )

 

A.10 B. 11

 

C. 12 D. 13

 

分析：审题是解题的源头，数学审题训练是对数学语言不断加深理解的过程。以本题为例min{-,-}≠{-,-}如何解决？我们不妨把抽象问题具体化！

 

如Si={1,2},Sj={2,3}那么min{-,2}为-，min{-,-}为-,Si是Sj符合题目要求的两个集合。若Sj={2，4}则与Si={2，4}按题目要求应是同一个集合。

 

题意弄清楚了，便有{1，2}，{2，4}，{1，3}，{2，6}，{1，2}，{3，6}，{2，3}，{4，6}按题目要求是4个集合。M是6个元素构成的集合，含有2个元素组成的集合是C62=15个，去掉4个，满足条件的集合有11个，故选B。

 

注：把抽象问题具体化是理解数学语言，准确抓住题意的捷径。

 

2.设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是( )

 

(A)CIS1∩(S2∪S3)=

 

(B)S1(CIS2∩CIS3)

 

(C)CIS1∩CIS2∩CIS3=

 

(D)S1(CIS2∪CIS3)

 

分析：这个问题涉及到集合的“交”、“并”、“补”运算。我们在复习集合部分时,应让同学掌握如下的定律:

 

摩根公式

 

CIA∩CIB=CI(A∪B)

 

CIA∪CIB=CI(A∩B)

 

这样,选项C中:

 

CIS1∩CIS2∩CIS3

 

=CI(S1∪S2∪S3)

 

由已知

 

S1∪S2∪S3=I

 

即CI(S1∪S2∪S3)=CI=

 

而上面的定律并不是复习中硬加上的,这个定律是教材练习一道习题的引申。所以,高考复习源于教材,高于教材。

 

这道题的解决,也可用特殊值法,如可设S1={1，2}，S2={1，3}，S3={1，4}问题也不难解决。

 

3.是正实数，设S={|f(x)=cos[(x+])是奇函数}，若对每个实数a，S∩(a，a+1)的元素不超过2个，且有a使S∩(a，a+1)含2个元素，则的取值范围是 。

 

解：由f(x)=cos[(x+)]是奇函数,可得cosx·cos=0,cosx不恒为0，

 

∴cos=0,=k+-，k∈Z

 

又>0，∴=-(k+-)

 

(a，a+1)的区间长度为1,在此区间内有且仅有两个角, 两个角之差为:-(k1+k2)

 

不妨设k≥0，k∈Z：

 

两个相邻角之差为-<1,>。

 

若在区间(a，a+1)内仅有二角,那么-≥1，≤2，∴<≤2。

 

注：这是集合与三角函数综合题。

 

4.设集合A={(x,y)|y≥-|x-2|}，B={(x,y)|y≤-|x|+b}，A∩B≠，

 

(1)b的取值范围是 ；

 

(2)若(x，y)∈A∩B且x+2y的最大值为9，则b的值是 。

 

解：用图形分别表示集合A、B。

 

-

 

-

 

-

 

B:y≤-|x|+b

 

从观察图形，易知

 

b≥1,A∩B≠；

 

(2)直线l方程为x+2y-2=0

 

直线x+2y=9平行于l，

 

其截距为-

 

∴b=-

 

5.集合A＝｛x|-＜0}，B＝｛x ||x -b|＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠”的充分条件， 则b的取值范围是( 　)

 

A.-2≤b<0 B.0

 

C.-3

 

分析A={x|-1

 

A、B区间长度均为2。

 

我们从反面考虑，若A∩B≠

 

此时，b+1≤-1或b-1≥1

 

即b≤-2或b≥2。

 

b≤-2或b≥2为b不能取值的范围，所以应排除A、B、C,选D。

 

注：本题是以集合为基础的充要条件，其难点并不是充要条件，而是对参数b的处理。本题的解法意在从A∩B≠出发,类似于不等量关系，考虑等量关系使问题简化，再用排除法。

 

6.函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))=f(x)，则这样的函数个数共有

 

(A)1个 (B)4个

 

(C)8个 (D)10个

 

解：根据对应关系定义,从象的个数出发去思考。

 

(1)函数集合有一个象,如象为1,

 

这时f(x)=1,x=1,2,3

 

f[f(x)]=f(1)=1=f(x)

 

写成对应形式{1,2,3}f {1}

 

若f(x)=2,x=1,2,3有{1,2,3}f {2}

 

同理{1,2,3}f {3}

 

以上共有3个函数。

 

(2)函数集合有2个元素

 

如函数集合为{1,2}

 

有{1,3}f {1},{2}f {2}

 

这时f(1)=1,f[f(1)]=f(1)

 

f(3)=1,f[f(3)]=f(1)=f(3)

 

f(2)=1,f[f(2)]=f(2)

 

有两个函数。

 

同理 函数集合为{1,3},{2,3}各有2个函数

 

综上有6个函数

 

(3)函数集合有三个元素{1,2,3}

 

只有f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3

 

∴有一个函数,f(x)=x

 

∴综上(1)、(2)、(3)共有10个函数,故选D。